Friday, April 5, 2013

Παιδικά όνειρα



Η φυσιολογική κατάσταση του ανθρώπου είναι η ήττα. Για να νικήσεις, πρέπει να νικήσεις τη φύση σου.

Mark Spitz




Το τελευταίο θεώρημα του Φερματ

"Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις."

O Γάλλος δικηγόρος και ερασιτέχνης μαθηματικός Πιέρ Ντε Φερμάτ είχε γράψει στις σημειώσεις του πως έχει βρει μια "πολύ σπουδαία απόδειξη". Πως κανένας αριθμός ας πάρουμε παράδειγμα το 5 σε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης έστω 5³ δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο άλλους αριθμούς στην ίδια δυναμη. Μια παραλλαγή δηλαδή του πυθαγόρειου θεωρήματος που αν και φαινομενικά φαντάζει να έχει μια σχετικά εύκολη απόδειξη, την οποία ισχυρίστηκε πως ήξερε ο Φερματ το 1637, τελικά αποδείχθηκε ως ένα από τα μεγαλύτερα μαθηματικά μυστήρια του αιώνα.
O Andrew Wiles είχε έρθει σε επαφή με αυτό το πρόβλημα σε πολύ μικρή ηλικία μόλις 10 ετών, όπως πολλοί μαθηματικοί πριν από αυτόν είχε παρασυρθεί από τη μαγεία αυτού του θεωρήματος το οποίο ήταν το μοναδικό από αυτά που πρότεινε ο Φερμάτ το οποίο δεν είχε ακόμη αποδειχθεί από τους σύγχρονους μαθηματικούς.
Χαρακτηριστικό είναι πως για αυτό το θεώρημα το οποίο ο Φερμάτ διατεινόταν πως είχε βρει λύση πριν 3 αιώνες έχουν δημοσιευθεί οι περισσότερες λανθασμένες λύσεις στην ιστορία των μαθηματικών. Εκατοντάδες μυαλά χαράμισαν ολόκληρη τη ζωή τους προσπαθώντας να το επιλύσουν και όλοι ανεξαιρέτως απέτυχαν παταγωδώς. Ισως ακόμη τελικά και ο ίδιος ο Φερμάτ να είχε βρει λάθος λύση..

Ο ενήλικας πλέον Wiles ονειρεύεται ακόμη να κάνει τη διατριβή του.. στην απόδειξη του  θεωρήματος. Ο John Coates τότε επιτηρητής καθηγητής του Wiles,  γρήγορα τον προέτρεψε  να εγκαταλείψει τα αφελή παιδικά όνειρα που θα οδηγούσαν τη καριέρα του σε αδιέξοδο και να επικεντρωθεί σε πιο πρακτικά ζητήματα, όπως ήταν οι ελλειπτικές καμπύλες του Οασάουα.
Αφήνοντας πίσω το θεώρημα του Φερμάτ μελετούσε τις ελλειπτικές καμπύλες. Η μοίρα όμως, σαν από διαβολική σύμπτωση του αποκάλυψε πως υπήρχαν κοινά στοιχεία στις ελλειπτικές καμπύλες που μπορούσαν να βοηθήσουν στην απόδειξη του θεωρήματος του Φερμάτ. Συγκεκριμένα το θεώρημα Shimura-Tanayama το οποίο πρότεινε πως οι ελλειπτικές καμπύλες μεταφράζονται στη βάση τους ως απλοϊκές Εφαρμογές Μόντουλο. Δηλαδή είναι συμμετρικά επαναλαμβανόμενες στην αιωνιότητα ώς αριθμοί που αντιστοιχούν σε πεπερασμένα νούμερα. Οι φόρμες modulo είναι επι της ουσίας αριθμητική πράξη όπως είναι η πρόσθεση η αφαίρεση η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. Στον προγραμματισμό για παράδειγμα το Μόντουλο 10 του 1075 είναι το 5.  δηλαδή 1075 % 10 = 5. 

Ενα άλλο απτό παράδειγμα του τι εστί η έννοια modulo στα μαθηματικά είναι τα αναλογικά ρολόγια. Η μέρα έχει 24 ώρες όμως μπορούμε να εξάγουμε τις πληροφορίες χωρίζοντας τη μέρα σε 2 δώδεκάωρα. Αν η ώρα είναι 7:00 σε 8 ώρες (7+8) ο κοντός δείχτης θα δείχνει στον αριθμό 3  και θα είναι 3:00 (αντί 15). Αντί να έχουμε ένα νέο χρονικό σημείο αναφοράς για κάτι που θεωρητικά είναι άπειρο, όπως είναι η αφηρημένη έννοια του χρόνου. Χωρίζουμε την αιωνιότητα σε πεπερασμένους επαναλαμβανόμενους κύκλους.
Αν αποδείξεις πως μια μαθηματική πράξη είναι Modulo τότε φέρνεις ένα συγκερασμό του άπειρου στο πεπερασμένο δημιουργώντας σε αυτή τη περίπτωση μια γέφυρα μεταξύ δύο μαθηματικών κλάδων 

Τραγικά ο Ιάπωνας μαθηματικός που εφηύρε αυτη την ιδέα συσχετισμού των δύο κόσμων δεν έζησε να δει τον τεράστιο αντίκτυπο που θα είχε η θεωρία του στο μεγαλύτερο μαθηματικό πρόβλημα του αιώνα. o Taniyama αποφάσισε να δώσει τέρμα στη ζωή του.

Σε σημείωμα που άφησε εξηγούσε - φανερά σε σύγχυση- πως όπως έζησε τη ζωή του χωρίς εκπτώσεις, μη υπακούοντας σε ψεύτικους κανόνες του πρέπει- κουρασμένος πλεόν από την ακαδημαϊκή του καριέρα που έφτασε σε αδιέξοδο.


 "Επιλέγω να φύγω έστω και τώρα με τους δικούς μου κανόνες."



Ο Ταναγιάμα έπασχε από κατάθλιψη, και η αιτία αυτής της κατάθλιψης δεν ήταν τίποτε άλο από το γεγονός, πως η "γέφυρα" η οποία είχε προτείνει, αν και εμπειρικά ορθή και μέχρι στιγμής αναπόδεικτη ως λάθος. Δεν μπορούσε ούτε ο ίδιος ούτε και κανένας άλλος να την αποδείξει ως ορθή.
Εδώ αξίζει μια μικρή παρένθεση για να εξηγήσουμε τι εννοούμε με τον όρο απόδειξη στα μαθηματικά.
Παίρνοντας για παράδειγμα το Πυθαγόρειο θεώρημα c^2 = a^2 + b^2. \,

     Kάποιος μπορεί να πάρει οποιοδήποτε αριθμό στην αιωνιότητα και να τον επαληθεύσει όμως αυτό απο μόνο του δεν είναι απόδειξη αλλά εμπειρική γνώση. Οι Αιγύπτιοι για παράδειγμα ήξεραν πολλές μαθηματικές συνταγές, όμως δεν είχαν απόδειξη του γιατί δούλευαν.
Απόδειξη στα μαθηματικά σημαίνει να το επιβεβαιώσεις πέραν πάσης αμφιβολίας πως αυτός ο κανόνας ισχύει σε κάθε περίπτωση.
Ο Ευκλείδης απέδειξε το Πυθαγόρειο χρησιμοποιώντας γεωμετρία. Αλλη μία απόδειξη ήρθε από τον Leonardo Da Vinci ενώ το 1876 ο James Abram Garfield χρησιμοποιώντας αλγεβρικές εξισώσεις έδωσε ακόμη μία απόδειξη.
Περισσότερα για τις αποδείξεις του Πυθαγόρειου μπορούμε να βρούμε εδώ

   Ο Wiles λοιπόν ενώ δούλευε σε ένα άλλο μαθηματικό τομέα όταν έμαθε πως ο συνάδελφος του Αλαν Ριμπερτ απέδειξε ένα θεώρημα γνωστό ως Εψιλον.  Εχοντας πάντα στο μυαλό του το παιδικό του όνειρο συνειδητοποίησε, πως υπήρχε συσχετισμός και λύση στο θεώρημα του Φερμάτ χρησιμοποιώντας τις ελλειπτικές καμπύλες που μελετούσε και την απόδειξη του Ριμπερτ.  Εκστασιασμένος πως μπορούσε να εκπληρώσει αυτό το όνειρο εγκατέλειψε τη διατριβή του, χωρίς να μιλήσει σε κανενα για αυτό - φοβούμενος την ειρωνική κριτική και την απαξίωση στη μαθηματική κοινότητα. Ξεκίνησε να δουλεύει στο να αποδείξει το τελευταίο πάζλ που είχε στο μυαλό του, δηλαδή το θεώρημα του Ταναγιάμα Σιμούρα και ως εκ τούτου το θεώρημα του Φερμάτ.
      Μετά από 7 ολόκληρα χρόνια, βρήκε τελικά μία μέθοδο να προσεγγίσει το πρόβλημα και ζητώντας βοήθεια από τον Nick Katz -φίλο του Wiles που ήταν αυθεντία σε ένα συγκεκριμένο τομέα μαθηματικών που χρειαζόταν βοήθεια στις εξισώσεις, κατάφερε τελικά να βρει μια απόδειξη στο πρόβλημα που παίδευε τους μαθηματικούς για περισσότερο από 300 χρόνια.

Μετά από αμέτρητους υπολογισμούς και επαληθεύσεις...
Πήρε την απόφαση να αποκαλύψει τη λύση του στη μαθηματική κοινότητα. Ετσι σε μια σειρά φαινομενικά άσχετων διαλέξεων που οργάνωσε στο Πριστον, ο Wiles αποκάλυψε με συνειρμικές εξισώσεις στη μαθηματική κοινότητα ότι είχε λύσει το πρόβλημα του Φερματ!

Η δόξα και η τεράστια αναγνώριση ήταν άμεση, όμως το ταξίδι έκρυβε μια αναπάντεχη στροφή και ένα τραγικό τέλος..
Πέραν από το γενικό πλαίσιο της ιδέας του Wiles το οποίο ήταν φαινομενικά σωστό,υπήρχαν οι συγκεκριμένες πτυχές τις οποίες βιάστηκε να επιλύσει με απλοποιήσεις. Οι οποίες όμως μετά από ενδελεχείς ελέγχους επαλήθευσης αποδείχθηκαν ως προβληματικές σε ένα συγκεκριμένο σημείο.
Μετά από μήνες απέλπιδων προσπαθειών από τον Wiles σε συνεργασία με τον μαθητή του Richard Taylor να βρει λύση.. Αναγκάστηκε να ανακοινώσει με ένα λιτό γράμμα στην μαθηματική κοινότητα πως τελικά, είχε κάνει λάθος υπολογισμό και ως εκ τούτου η λύση του ήταν λανθασμένη.
    Αυτό το οποίο φοβότανε περισσότερο από όλα, αυτό για το οποίο τον είχαν προειδοποιήσει φίλοι αλλά και παλαιότεροι μαθηματικοί τελικά έγινε πραγματικότητα. Η δική του λύση - το παιδικό το όνειρο ήταν τελικά μια πλάνη, που τον μετέτρεψε σε ένα περίγελο για την χαιρέκακη μαθηματική κοινότητα. Μία ακόμη λανθασμένη λύση στη μακριά λίστα λανθασμένων λύσεων του θεωρήματος
         -ο αδαής που τόλμησε να ονειρευτεί πως μπορούσε να λύσει το θεώρημα του Φερματ!
..Η μοίρα όμως δεν ειχε πει τη τελευταία της λέξη. Ενα χρόνο μετά καθώς καθόταν στο γραφείο του βυθισμένος σε σκέψεις έγινε κάτι το αδιανόητο, μια ξαφνική συνειδητοποίηση έμπνευσης ήρθε στο μυαλό, ένα ηλεκτρικό ρεύμα διαπέρασε όλο του το σώμα.
Μια καινούρια ιδέα, ένας καινούριος τρόπος σκέψης, ως μια θεία φώτιση τον οδήγησε σε μια νέα λύση. Μια λύση που προήλθε μέσα από την αποτυχία της προηγούμενης. Μια λύση τόσο σχετικά απλή, όμορφη και κομψή που ανάγκασε τον Wiles να σηκωθεί από το γραφείο να πάει για μια βόλτα και μετά να επιστρέψει χωρίς να είναι σίγουρος αν τελικά η εξίσωση ηταν εκεί ακόμη ή απλά ένα όνειρο..
        Τελικά ο Andrew Wiles γράφτηκε στην Ιστορία ως ο άνθρωπος που έλυσε το τελευταίο θεώρημα του Φερμάτ, αυτή τη φορά στα αλήθεια. Η μαθηματική σημαντικότητα της επίλυσης του προβλήματος αν και τεράστια, έρχεται στη δική μας ανάγνωση σε δεύτερη μοίρα μπροστά στη τραγικότητα της συνειδητοποίησης από ένα άνθρωπο.. Πως ποτέ ξανά δεν θα μπορέσει να πετύχει κάτι εξίσου σημαντικό στη ζωή του.

Πως συνεχίζεις ένα ταξίδι, όταν επι της ουσίας γνωρίζεις πως όλα πλέον θα είναι ένας κατήφορος..
• • •


    Ένα βράδυ βροχερό στο Λονδίνο, ήταν μια επέτειος αλλά δεν θυμάμαι τι ακριβώς γιορτάζαμε. Είχε πει να φέρω μαζί μου μπύρες, εγώ έβαζα τις μπύρες αυτή τα υπόλοιπα κάπως έτσι πήγαινε η ιστορία. Σίγουρα εγώ φταίω για τις τάσεις φυγής δεν υπάρχει αμφιβολία, αλλά αδυνατούσα να κάνω ισοπεδωτική κριτική κάθαρσης, γιαυτό σταμάτησα να σκέφτομαι, κάπου πριν 1-2 χρόνια σταμάτησα να σκέφτομαι το αύριο και το χθές.. αλλά και το τώρα που ζούμε τελικά δεν είναι και πολύ καλύτερο.
      Το περασμένο καλοκαίρι κατέβηκα στο νησί για 15 μέρες, με πήρε τηλέφωνο, μου είπε να βρεθούμε, πάντα πιστός, πήγα, κάτσαμε..
-θέλω να παντρευτούμε, ..έτσι ψυχρά.. Δεν είπα τπτ.. είχα ένα περιστασιακό έρωτα εκείνη τη περίοδο, θα ήταν ανήθικο αν έλεγα κάτι, χαμογέλασα πλέον είχε φανεί σαν αστείο. Ισως και να ήταν. Τι όμορφη που φαινόταν, πως γίνεται  να μη βρήκε κάτι τόσα χρόνια.. σίγουρα θα βρήκε αλλά θα τα έκανε σκατά όπως πάντα.. ένα πρόσωπο αγγελικό αλλά σα μάγισσα μα με απίστευτη καλοσύνη.. κάπως έτσι είναι και η αγάπη, χαρά - πίκρα.
Τελικά γύρισα πίσω στο Λονδίνο μη αντιλαμβανόμενος την ύβρη..
      Περπατούσα, σταμάτησε να βρέχει
spare some change mate?   (.....)
Σαν έμπαινα στο τρένο θυμήθηκα το διήγημα του Σαμαράκη, δεν θυμάμαι τον τίτλο. Να φύγω από αυτή τη πόλη, να πάω σε άλλη πόλη, έλεγε μέσα.. να πάρω το τρένο να φύγω από αυτή τη πόλη.. Και τελικά σε όποια πόλη και να πας ο εαυτός σου θα είναι πάντα ο ίδιος. Θα ξεφύγεις από τη πόλη αλλά από τον εαυτό σου δεν ξεφεύγεις. Γιαυτό μια ζωή θα σου φταίει η πόλη.
      Εγώ φταίω, θα πάω πίσω, θα τα παρατήσω όλα, θα πάω πίσω τούτο το καλοκαίρι.
Πέρασε το καλοκαίρι, ήρθε Σεπτέμβρης και θυμήθηκε που πήρε την σκέψη για το καλοκαίρι που πέρασε, την οποία τελικά αθέτησε..
Είσαι σε ένα κομβικό σημείο. Ή που θα ζήσεις εδώ για πάντα, ή που θα πας πίσω, διάλεξε δεν γίνεται και τα δύο.
Θυμήθηκε το φαγητό της μάνας, το ψωμί της γιαγιάς το χειροποίητο, κάθε πρωί πάνω στο τραπέζι κομμένο φέτες, τις ψήνεις , λίγο μέλι.. Δεν ήταν φυσιολογικό ψωμί εκείνο, ήταν μια γεύση χίλιες λέξεις..
Στα τέτοια μου, θα κατέβω πίσω, θα βρω μια καινούρια δουλειά και θα ζήσω εκεί που γεννήθηκα, πατρίδα μας είναι τα παιδικά μας χρόνια.. τόσα χρόνια μακρυά είναι πολλά.
      Νοέμβρη πήγε πίσω. Δουλείες ούτε για δείγμα. Δε βαριέσαι, είχε μαζέψει κάτι ψηλά στη πάντα, θα περάσουμε με τα λίγα..
Στο πίσω μέρος του μυαλού η σκέψη ήταν αλλού. Η ηθική δεν επέτρεπε διασάλευση, δεν επέτρεπε αναστάτωση της ζωής αυτού του ανθρώπου. Αν είναι να γίνει κάτι ας γίνει τυχαία. Εξάλλου, αν υπάρχει τηλεπάθεια όπως λένε οι ιστορίες άρλεκιν, σίγουρα, εδώ θα είχαμε παραδείγματα πολλά, ιστορίες βγαλμένες απο παραμύθι που πάνε πίσω χρόνια πολλά.
Ενα απόγευμα σαν όλα τα άλλα γύρισε σπίτι μετά απο βόλτα στη φύση -  βρήκε στο κινητό του μια κλίση αναπάντητη. Δεν είχε όνομα, ηταν ένας αριθμός που τον ήξερε αλλά δεν ήταν στη μνήμη του κινητού..
      Εκείνη τη κρίσιμη στιγμή, ακροβατούμε πάνω στο πάγο, αλλά πίστεψε λανθασμένα, πως θα ήταν καλύτερο να βιαστεί.. Δυστυχώς όμως τα λόγια δεν βγαίνουν ποτέ όπως τις σκέψεις στο μυαλό.. Αν προσπαθήσεις να τρέξεις βιαστικά πάνω στον πάγο, θα γκρεμοτσακιστείς, όπως και έγινε.. Οπως περιγράφει ο ίδιος ο Andrew Wileς τη μαθηματική διαδικασία, είναι σαν να μπαίνεις σε ένα σκοτεινό σπίτι, που δεν έχει μέσα φώτα και σκοντάφτεις πάνω σε έπιπλα μέχρι να βρεις το δρόμο σου..